Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат

Министерство общего и проф образования РФ Кубанский муниципальный технологический институт

Кафедра общей арифметики

ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

Белокопытов А.Ю., Морозов В.О.

группа 20-КТ-61

Краснодар, 2001


Уравнения! Можно утверждать наверное, что не найдется ни 1-го человека, который бы не был знаком с ними. Малыши сызмала начинают решать «задачи с иксом Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат». Далее – больше. Правда, для многих знакомство с уравнениями и завершается школьными делами. Узнаваемый германский математик Курант писал: «На протяжении 2-ух с излишним 1000-летий обладание некими, не очень поверхностными, познаниями в области арифметики входило нужной составной частью в умственный инвентарь каждого образованного человека». И посреди этих познаний было умение решать Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат уравнения.

Уже в древности люди поняли, как принципиально научиться решать алгебраические уравнения вида

a0 xn + a1 xn – 1 + … + an = 0

– ведь к ним сводятся очень многие и очень различные вопросы практики и естествознания (естественно, тут можно сходу полагать, что а0 ¹ 0 , потому что по другому степень уравнения по сути не n Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат , а меньше). Многим, очевидно, приходила в голову заманчивая идея отыскать для хоть какой степени n формулы, которые выражали бы корешки уравнения через его коэффициенты, т.е., решали бы уравнение в радикалах. Но «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более темным и в отношении обсуждаемой задачки – в течение целых 7 веков требуемых формул никто Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат не отыскал! Исключительно в XVI веке итальянским математикам удалось продвинуться далее – отыскать формулы для n = 3 и 4 . История их открытий и даже авторство отысканных формул довольно темны до настоящего времени, и мы не будем тут выяснять сложные дела меж Ферро, Кардано, Тартальей и Ferrari, а изложим лучше математическую сущность Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат дела.

Разглядим поначалу уравнение

a0 x3 + a1 x2 + a2 x + a3 = 0.

Просто проверить, что если мы положим , где y – новое неведомое, то дело сведется к решению уравнения

y 3 + py + q = 0,

где p, q – новые коэффициенты. Счастливая гипотеза итальянцев состояла в том, чтоб находить y в виде суммы y = u + v , где Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат u , v – д в а новых неведомых. Для их наше уравнение перепишется – после маленький перегруппировки слагаемых – так:

u 3 + v 3 + (3 uv + p )( u + v ) + q = 0.

Потому что неведомых сейчас два, на их можно наложить еще какое-нибудь условие – идеальнее всего

3 uv + p = 0,

тогда начальное уравнение воспримет совершенно обычной вид

u 3 + v Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат 3 + q = 0.

Это значит, что сумма кубов u 3 , v 3 должна приравниваться – q , а их произведение . Как следует, сами u 3 , v 3 должны быть жеребцами квадратного уравнения

t 2 + qt – p3 /27 = 0,

а для него формула уже известна. В конечном итоге выходит формула

при этом из 9 пар значений входящих в нее кубических радикалов нужно Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат брать только пары, дающие в произведении –p/3, как вытекает из нашего рассуждения. Исторически за этой формулой закрепилось заглавие формулы Кардано, хотя вопрос о ее авторстве так до конца и не выяснен.

Для n = 4 формулу открыл Ferrari, она смотрится труднее, но тоже употребляет только четыре арифметических деяния и извлечение радикалов. Вот рисунок Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат вывода формулы Ferrari. Сначала, подобно предшествующему, положим , тогда дело сведется к решению уравнения вида

y 4 + py 2 + qy + r = 0.

Дополнив y 4 до ( y 2 + z )2 , т.е. прибавив и вычтя в левой части 2 zy 2 + z 2 , где z – вспомогательное неведомое, получим

( y 2 + z )2 – [(2 z – p ) y 2 – qy + ( z 2 – r )] = 0.

Подберем сейчас z так, чтоб Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат квадратный трехчлен в квадратных скобках оказался полным квадратом; для этого необходимо, чтоб его дискриминант приравнивался нулю, т.е. чтоб было

q2 – 4(2z – p) (z2 – r) = 0.

Можем ли мы решить это уравнение относительно z ? Да, можем, потому что оно кубическое. Пусть z 0 – какой-либо его корень (даваемый формулой Кардано) тогда начальное Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат уравнение перепишется в виде

[(y2 + z0 ) – (…)] * [(y2 + z0 ) + (…)] = 0,

где многоточия означают многочлен менее чем первой степени от y , оба раза один и тот же.

;

;

При всем этом знаки перед радикалами выбирают так, чтоб производилось равенство .

В 1770-71 гг. известный французский математик Лагранж (1736-1819) публикует в Воспоминаниях Берлинской Академии собственный мемуар Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат «Мысли над решением алгебраических уравнений», в каком делает критичный пересмотр всех решений уравнений 3-й и 4-й степеней, данных его предшественниками, и замечает, что они все в сути основаны на последующем принципе. Пусть x 1 , x 2, …, xn будут корешки данного уравнения, и пусть j ( x 1 , x 2, …, xn ) будет их рациональная функция, принимающая при Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат различных n ! перестановках меж корнями v значений. Тогда эта функция удовлетворяет уравнению степени v с оптимальными коэффициентами. Согласно точке зрения Лагранжа, задачка состоит в том, чтоб подобрать функцию j ( x 1 , x 2, …, xn ) таким макаром, чтоб v было меньше n . И вот оказалось, что при п >4 нереально.

Эти исследования Лагранжа Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат дали для следующих алгебраистов очень удачный аппарат. Не считая того, они указали путь, по которому следовало находить подтверждения невозможности общего решения уравнений в радикалах.

Предстоящим шагом в выяснении задачи решения уравнений в радикалах послужили работы Руффини (P. Ruffini, 1765-1822) и Абеля (N.-H. Abel, 1802 - 1829). Руффини (1799) предложил подтверждение неразрешимости в Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат радикалах уравнений 5-й степени, коэффициенты которого являются независящими переменными. Но его подтверждение окончилось неудачей.

Нужен был принципно новый подход. Сейчас он не принудил себя длительно ожидать – уже в 1824 году юный (и в возрасте 27 лет погибший) норвежский математик Нильс Генрик Абель, делая упор на идеи Лагранжа, связанные с перестановками корней Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат уравнения, обосновал, что требуемых формул, которые решали бы в радикалах уравнение вида, при n ³5 вправду не существует. Аксиома Абеля отдала отрицательный ответ только для уравнений вида, т.е. с буквенными коэффициентами a 0 , a 1 , …, an , но, очевидно, многие определенные уравнения сколь угодно высочайшей степени полностью могут решаться в радикалах Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат (пример: уравнение x 90 + 5 x 45 + 7 = 0). Потому сразу встал вопрос о полном решении задачки – нахождении аспекта разрешимости уравнений в радикалах, т.е. нужного и достаточного условия, которое по коэффициентам a 0 , a 1 , …, an хоть какого данного уравнения позволяло бы судить, решается уравнение в радикалах либо нет.

Вопрос о разрешимости уравнений Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат в радикалах был совсем разобран, во всяком случае принципно, в работах Галуа (EvaristeGalois, 1811-1832). Личность Галуа представляет собой совсем исключительное в истории науки явление. Жизнь Галуа, погибшего всего на 21 году, протекала очень бурно. Два раза провалившись на вступительных экзаменах в известную Политехническую школу, Галуа поступил в Предварительную школу (перевоплощенную из Высшей обычной Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат школы во время обскурантистского правления Карла IX), откуда скоро после июльского переворота был уволен за печатное выступление против школы. После чего Галуа открыл «публичный курс» по алгебре, но политическая жизнь страны стремительно втянула его в собственный водоворот. Имея репутацию конкретного республиканца и активного неприятеля Луи-Филиппа, он дважды посиживал Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат в кутузке за политические выступления и в мае 1832 года был убит на дуэли, предпосылки которой остаются до сего времени таинственными.

За свою маленькую жизнь Галуа успел сделать теорию, которая до сего времени стоит в фокусе математической мысли. Рассматривая численные уравнения, он установил понятие их группы , т.е. совокупы таких подстановок Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат меж их корнями, которые не нарушают оптимальных соотношений меж ними. Эта группа определяет для каждого уравнения алгебраическую структура его корней. А именно, уравнение разрешимо в радикалах и тогда только тогда, если его группа принадлежит к числу так именуемых разрешимых групп . Таким макаром вопрос о разрешимости каждого данного уравнения в Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат радикалах может быть решен с помощью конечного числа действий.

Обратимся сейчас к начальному объекту исследования – уравнению

a0 xn + a1 xn – 1 + … + an = 0,

где a 0 , a 1 , …, an - данные числа. Еще Гаусс в конце XVIII века обосновал «основную аксиому алгебры», гласящую, что при всех a 0 , a 1 , …, an данное уравнение имеет в поле всеохватывающих Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат чисел п корней, поточнее, стоящий в его левой части многочлен f( x) может быть разложен на линейные множители

f(x) = a0 (x - a 1 )…(x - a n ),

где a 1 … a n – некие всеохватывающие числа (именуемые корнями уравнения). Задачка заключается в том, чтоб выяснить, есть ли формулы, выражающие корешки a Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат 1 , …, a n через коэффициенты a 0 , a 1 , …, an при помощи 4 арифметических действий и извлечения радикалов? Сначала, сходу можно считать, что все числа a 1 , …, a n различны, по другому мы поделили бы многочлен f на больший общий делитель этого f и его производной f’ , что отдало бы нам новый многочлен с теми же Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат самыми корнями, но уже без повторений.

Главный мыслью, воистину прозрением Галуа, явилась идея связать с каждым алгебраическим уравнением группу всех автоморфизмов его «поля корней» Q (a 1 , …, a n ), которые оставляют недвижным «поле коэффициентов» Q( a 0 , a 1 , …, an ). Понятно, что это вправду группа, потому что если j, y - два таких Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат автоморфизма, то автоморфизмы jy и j-1 тоже оставляют числа a 0 , a 1 , …, an недвижными.

Как действует хоть какой таковой автоморфизм j на корешки нашего уравнения? Если a - корень, т.е.

a0 a n + a1 a n – 1 + … + an = 0,

то, применив j к обеим частям, получим

a0 ( a j )n Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат + a1 ( a j )n – 1 + … + an = 0,

т.е. a j – корень такого же уравнения! Другими словами, автоморфизм j просто переставляет корешки a 1 , …, a n меж собой, определяя тем некую перестановку

a 1 … a n

a 1 … a in

просто сообразить, что произведению автоморфизмов будет отвечать произведение соответственных перестановок, так что все получающиеся при всем этом перестанвоки Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат сами составляют группу. Она именуется группой симметрий либо группой Галуа уравнения f =0 и обозначается Gal(f ). Понятно, что Gal(f ) – подгруппа группы Sn всех перестановок п знаков. Оказывается, качествами группы Галуа и определяется ответ на вопрос о разрешимости данного уравнения в радикалах.

Вот этот известный

Аспект Галуа. Уравнение Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат f=0 и тогда только тогда разрешимо в радикалах, когда его группа Gal(f ) обладает полициклической матрёшкой.

Сначала, может появиться недоумение: «Как можно манипулировать перестановками корней, когда сами корешки неопознаны? А если корешки будут найдены, то никакие перестановки уже не пригодятся. В чем тут достижение?»

Оказывается, что группу Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат Gal(f ) вправду можно вычислить, не зная корней уравнения f = 0, а пользуясь только, так сказать, соображениями симметрии.

Разглядим уравнение

x4 – x2 + 1 = 0.

Естественно, без всякого аспекта Галуа видно, что оно биквадратное и просто решается в радикалах, но наша цель на данный момент в другом показать на этом простом примере, как, не Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат пользуясь познанием корней уравнения, отыскать его группу Галуа. На данный момент мы убедимся, что это полностью может быть. Сначала заметим, что многочлен

f = x 4 – x 2 + 1,

стоящий в левой части, не разлагается на множители наименьшей степени с оптимальными коэффициентами. Для выяснения этого имеется легкий общей прием, на котором мы не будем останавливаться Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат.

Пусть a какой-либо корень нашего уравнения. Понятно, что тогда -a, 1/a, -1/a - тоже корешки, при этом они все попарно различны. Занумеруем их, пусть

a1 = a, a2 = - a, a3 = 1/a, a4 = -1/a

Разумеется,

Q ( a1 , a2 , a3 , a4 )= Q (a)

Какие перестановки войдут в группу Gal(f )? Очевидно, далековато не все 24 перестановки Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат 4 знаков. По правде, если при каком-то автоморфизме поля Q (a) число a перебегает в a1 , т.е. остается на месте, то просто осознать, числа a2 , a3 , a4 тоже останутся на месте. Другими словами, получится единичная перестановка е . Дальше, если a перейдет в a2 , то по той Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат же причине получится перестановка

а =
a1 a2 a3 a4

a2 a1 a4 a3

В конце концов, при aa3 и aa3 получатся перестановки

b =
a1 a2 a3 a4

a3 a4 a1 a2

c =
a1 a2 a3 a4

a4 a3 a2 a1

Потому что все способности для вида корня a мы перебрали Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат, никакие другие перестановки показаться не могут.

С другой стороны, можно убедиться, что все четыре перестановки е, а, b, с вправду появляются из автоморфизмов поля Q (a), так что они и составляют группу Gal(f ) нашего уравнения. По правде, разглядим, к примеру, подстановку а (для подстановок b, c рассуждение полностью Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат аналогично). Если, как мы собираемся обосновать, автоморфизм поля Q (a), соответственный подстановке a , существует, то он должен действовать так:

,

где g, h произвольные многочлены с оптимальными коэффициентами, при этом h( a) ¹ 0 (учтите, что автоморфизм должен переводить сумму в сумму и произведение в произведение). Ясно, что это формулу и Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат следует взять за определение искомого автоморфизма. Тонкость заключается в том, что число может быть записано многими различными методами:

и необходимо убедиться, что при подмене a на a2 все эти равенства сохранятся. По другому говоря, если p = gh1 – g1 h и p( a) = 0 , то и p( a2 ) = 0 . Чтоб обосновать это Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат, поделим р на начальный многочлен f с остатком:

p(x) = f(x)q(x) + r(x);

остаток r( x) – это многочлен степени не выше третьей. Потому что p( a) = f( a) = 0 , то и r( a) = 0 . Представим на время, что r( x) ¹ 0 . По школьной аксиоме Безу многочлены f( x), r( x Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат) имеют общий делитель x - a; пусть d( x) – их больший общий делитель. Разумеется, d( x) имеет степень не ниже первой и не выше третьей и разделяет многочлен f( x) , а это противоречит неразложимости на множители. Приобретенное противоречие значит, что r( x)=0 , т.е.

p(x) = f Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат(x)q(x).

Положив тут x = a2 , получаем требуемое равенство p( a2 ) = 0 (а совместно с ним и два других равенства p( a3 ) = p( a4 ) = 0). Точно так же из h( a) ¹ 0 следует h( a2 ) ¹ 0 и т.д. Итак,

Gal(f) = {e, a, b, c}.

Видите ли, группа Галуа найдена, и значения Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат корней при всем этом не пригодились!

В заключение несколько слов об общем уравнении

a0 xn + a1 xn – 1 + … + an = 0,

где a 0 , a 1 , …, an - буквенные коэффициенты. Можно показать (опять-таки не пользуясь значениями корней), что группой Галуа этого уравнения будет группа всех перестановок Sn . обладает ли она полициклической матрешкой подгрупп Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат? Если п £4, то да. Если же п ³ 5, то группа Sn не имеет полициклических матрёшек, - это уже достаточно тяжелая аксиома, также доказанная Эваристом Галуа. Как следует, общее уравнение степени п ³ 5 неразрешимо в радикалах.

Заканчивая этот лаконичный очерк мыслях Галуа, скажем, что шестьдесят страничек, написанных Эваристом Галуа намедни роковой дуэли Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат явилось одним из истоков современной теории групп – основного и более развитого раздела алгебры, изучающего в общем виде глубокую закономерность реального мира – симметрию.

Преобразование j поля К именуется его автоморфизмом , если оно сумму переводит в сумму, а произведение в произведение, т.е.

(а + в) j = аj + вj , (АВ)j Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат = аj вj

для всех а,в из К; тут а j обозначает образ элемента а и т.д.

Поле – это огромное количество К с 2-мя двуместными операциями, именуемыми сложением и умножением, при этом отностительно сложения оно является коммутативной группой, относительно умножения его элементы, хорошие от нулевого, тоже составляют Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат коммутативную группу и, в конце концов, в К производится обыденное правило для раскрытия скобок (а + в)с=ас + вс для всех а, в, с из К.

Разглядим последовательность вложенных друг в друга подгрупп; всякая такая последовательность

М: G=H0 ³H1 ³ … ³Hm =E,

содержащая G и Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат E, именуется матрёшкой подгрупп группы G. Допустим сейчас, что в каждом члене Hi данной матрёшки М выделено по элементу аi , при этом для каждого элемента х из Нi + 1 «сопряженный элемент» а­i –1 xai опять лежит в Нi + 1 и каждый элемент у из Hi записывается в виде произведения некой степени аi m Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат на некий элемент из Нi + 1 ; тогда матрешка М именуется полициклической.

Группой именуется хоть какое огромное количество G, на котором задана двуместная алгебраическая операция, т.е. правило, сопоставляющее каждым двум элементам из G определенный 3-ий элемент из G, при этом производятся последующие теоремы:

а) операция ассоциативна , т.е. (а b Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат) c= a( bc)

б) G содержит единичный элемент

в) для всякого а из G существует оборотный элемент.

Перечень ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

1. В. Чеботарев, «Основы теории Галуа» Москва, 1934.

2. А. Дальма, « Эварист Галуа. Революционер и математик» Москва, 1984.

3. Ван дер Варден, «Алгебра»

4. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, «Справочник по арифметике для Об алгебраических уравнениях высших степеней - реферат инженеров и учащихся ВТУЗов» Москва, 1986.


ob-itogah-socialno-ekonomicheskogo-razvitiya-gorodskogo-okruga-gorod-joshkar-ola.html
ob-itogah-socialno-ekonomicheskogo-razvitiya-sivinskogo-municipalnogo-rajona-za-2011-god-i-o-perspektivah-razvitiya-v-2012-godu.html
ob-itogah-uchastiya-v-gannoverskoj-promishlennoj-yarmarke-gannover-messe-2012.html